Question

已知函数y=sin²x-sinx+1（x∈R），若当x=α时，y取得最大值，；当x=β时，y取得最小值，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，则cos（β-α）=

 

．

Answer 1

分析：利用二次函数的性质求出y取得最大与最小值时sinx的值，确定出sinα与sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：令sinx=t，则y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，t∈[-1，1]，
由二次函数性质，当t=

1

2

，即sinβ=

1

2

时，y取得最小值

3

4

．
当t=-1，即sinα=-1时，y取得最大值3，
∵且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosβ=

1-sin2β

=

3

2

，cosα=0，
则cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．