Question

12．已知O为坐标原点，A，B为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，若双曲线C上与A，B两点横坐标不相同的任意一点P，满足k_PA•k_PB=2（k表示直线的斜率0），则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k_PA•k_PB=2，即可求得结论．

解答 解：由题意，设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$
A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），代入双曲线方程，两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PA•k_PB=2，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2
∴e²-1=2
∴e=$\sqrt{3}$
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．