Question

2．已知函数f（x）=lg（$\frac{1}{x}$-1），x∈（0，$\frac{1}{2}$），若x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$）且x₁≠x₂，求证：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 代入函数解析式，使用作差法证明．

解答 解：假设0＜x₁＜x₂$＜\frac{1}{2}$，
f（x₁）+f（x₂）-2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）+lg（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）-lg（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²
=lg（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）-lg（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²．
（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）-（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}（1-{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$．
∵0＜x₁＜x₂$＜\frac{1}{2}$，∴1-x₁-x₂＞0，∴（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）-（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²＞0，
∴（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）＞（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²＞0，
∴lg（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）＞lg（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²．
即lg（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）-lg（$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-1$）²＞0，
∴f（x₁）+f（x₂）-2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞0，
∴$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

点评 本题考查了不等式的证明，使用作差法证明是证明不等式的常用方法．