Question

15．已知数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且a_n＞0，b_n＞0，记数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，若a₁=b₁=1，S_n=（n-1）•3ⁿ+1（n∈N^*），则数列{$\frac{{a}_{n}-25}{{b}_{n}}$}的最大项为第14项．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），由已知列式求得公差和公比，得到等差数列与等比数列的通项公式，代入$\frac{{a}_{n}-25}{{b}_{n}}$，化简整理，令c_n=$\frac{{a}_{n}-25}{{b}_{n}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n}≥{c}_{n-1}}\\{{c}_{n}≥{c}_{n+1}}\end{array}\right.$ 求得n值．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
由S_n=（n-1）•3ⁿ+1，得
$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{2}=1+（1+d）q=10}\\{{S}_{3}=1+（1+d）q+（1+2d）{q}^{2}=55}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（1+d）q=9}\\{（1+2d）{q}^{2}=45}\end{array}\right.$，解得d=2，q=3．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，${b}_{n}={3}^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}-25}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-26}{{3}^{n-1}}$，
令${c}_{n}=\frac{2n-26}{{3}^{n-1}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n}≥{c}_{n-1}}\\{{c}_{n}≥{c}_{n+1}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n-26}{{3}^{n-1}}≥\frac{2n-28}{{3}^{n-2}}①}\\{\frac{2n-26}{{3}^{n-1}}≥\frac{2n-24}{{3}^{n}}②}\end{array}\right.$，
由①得$n≤\frac{29}{2}$，由②得n$≥\frac{27}{2}$．
∴n=14．
即数列{$\frac{{a}_{n}-25}{{b}_{n}}$}的最大项为第14项．
故答案为：14．

点评 本题是等差数列与等比数列的综合题，考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．