Question

8．已知sinx+cosx=a（0$≤a≤\sqrt{2}$），则sinⁿx+cosⁿx=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ（关于a的表达式）．

Answer 1

分析 由sinx+cosx=a①，平方可得2sinxcosx=a²-1，可求sinx-cosx=±$\sqrt{2-{a}^{2}}$②，联立①②解得：sinx，cox，代入即可求值得解．

解答 解：∵sinx+cosx=a①，平方可得：1+2sinxcosx=a²，解得：2sinxcosx=a²-1，
∵0$≤a≤\sqrt{2}$，
∴0≤a²≤2，
∴sinx-cosx=±$\sqrt{1-2sinxcosx}$=±$\sqrt{2-{a}^{2}}$②，
∴联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinx=\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}}\\{cosx=\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{sinx=\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}}\\{cosx=\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=sinⁿx+cosⁿx=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ．
故答案为：（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$）ⁿ．

点评 本题主要考查了平方和公式，平方差公式的应用，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．