Question

4．已知m，n是满足m+n=1，且使$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取得最小值的正实数，若函数y=x^a过点 P（m，$\frac{2}{3}$n），则α的值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 根据题意，由基本不等式的性质分析可得m=$\frac{1}{4}$、n=$\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值，可得P的坐标，将p的坐标代入函数解析式计算可得答案．

解答 解：根据题意，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=10+（$\frac{9m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥10+2$\sqrt{\frac{9m}{n}•\frac{n}{m}}$=16，
分析可得：当$\frac{9m}{n}$=$\frac{n}{m}$，即n=3m时，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值16，
又由m+n=1，
即m=$\frac{1}{4}$、n=$\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取到最小值16，
则P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
则有（$\frac{1}{4}$）^α=$\frac{1}{2}$，
解可得α=$\frac{1}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及幂函数的运算，关键是求出m、n的值．