Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．
（1）求A；
（2）若cosBcosC=-

1

8

，且△ABC的面积为

3

，求a．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的正弦,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式对已知等式化简求得cosA的值，则A可求．
（2）先求得cos（B+C）的值，进而利用已知求得sinBsinC的值，最后利用正弦定理求得a．

解答： 解：（1）cos2A=3cos（B+C）+1，
∴2cos²A-1=-3cosA+1，求得cosA=

1

2

或-2（舍去），
∴A=

π

3

．
（2）∵cos（B+C）=-cosA=-

1

2

，
∴-

1

8

-sinBsinC=-

1

2

，
∴sinBsinC=

3

8

，
又S=

1

2

bcsinA，即

1

2

bc•

3

2

=

3

，
∴bc=4，
由正弦定理知

a2

sin2A

=

bc

sinBsinC

，
即

a2

3 4

=

4

3 8

，a=2

2

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和解决问题的能力．