Question

对于函数f（x）：如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，那么称函数f（x）是（0，+∞）上的凹函数．现有函数：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x+1；（3）f（x）=log₂（x+1），以上哪些函数在（0，+∞）上是凹函数，请写出相应的序号

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：对于（1），把f(

x1+x2

2

)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]代入f（x）=x²，整理后利用基本不等式得到f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，说明函数f（x）=x²是（0，+∞）上的凹函数；
对于（2），把f(

x1+x2

2

)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]代入f（x）=2^x+1，整理后利用基本不等式得到f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，说明函数f（x）=2^x+1是（0，+∞）上的凹函数；
对于（3），利用基本不等式结合对数函数的运算性质得到g（x）不是（0，+∞）上的凹函数，然后由函数图象的平移得答案．

解答： 解：对于（1），f（x）=x²，
f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2=

1

4

(x12+2x1x2+x22)＜

1

4

(2x12+2x22)=

1

2

(x12+x22)，
而

1

2

[f(x1+x2)]=

1

2

(x12+x22)，
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，
函数f（x）=x²是（0，+∞）上的凹函数；
对于（2），f（x）=2^x+1，
f(

x1+x2

2

)=2

x1+x2

2

+1=2

x1+x2+2

2

，

1

2

[f(x1+x2)]=

1

2

(2x1+1+2x2+1)＞

1

2

•2

2x1+1•2x2+1

=2

x1+x2+2

2

，
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，
函数f（x）=2^x+1是（0，+∞）上的凹函数；
对于（3），f（x）=log₂（x+1），
令g（x）=log₂x，
g(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

＞log2

x1x2

．

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(log2x1+log2x2)=

1

2

log2x1x2=log2

x1x2

．
∴g（x）不是（0，+∞）上的凹函数．
而f（x）=g（x+1），
∴f（x）不是（0，+∞）上的凹函数．
∴正确命题的序号是（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．

点评：本题考查了幂函数、指数函数以及对数函数的运算性质，考查了基本不等式的用法，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是中档题．