Question

14．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．
①求证：f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③比较f（$\frac{m+n}{2}$）与$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大小．

Answer 1

分析 ①利用抽象函数的关系进行递推即可．
②根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明即可，
③利用作差法结合抽象函数的关系进行证明即可．

解答 证明：①∵f（m）=f（n•$\frac{m}{n}$）=f（$\frac{m}{n}$）+f（n），
∴f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
②任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$，
∵x₁＜x₂，∴$\frac{x_2}{x_1}＞1$，
∴$f（\frac{x_2}{x_1}）＞0∴f（{x_2}）＞f（{x_1}）$，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
③f（$\frac{m+n}{2}$）-$\frac{f（m）+f（n）}{2}$=$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2}$）-$\frac{f（m）+f（n）}{2}$
=$\frac{1}{2}$（f（$\frac{m+n}{2}$）-f（m））+$\frac{1}{2}$（f（$\frac{m+n}{2}$）-f（n））
=$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2m}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2m}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{（m+n）^{2}}{4{m}^{2}}$），
∵$\frac{{{{（m+n）}^2}}}{{4{m^2}}}≥1∴f[\frac{{{{（m+n）}^2}}}{{4{m^2}}}]≥0$
故$f（\frac{m+n}{2}）≥$$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．