Question

6．已知曲线W：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≥0），直线l：y=kx+1与曲线W交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．
（1）当点B坐标为（-1，0）时，求k的值；
（2）记△OAD的面积为S₁，四边形ABCD的面积为S₂．
（i）若S₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，求线段AD的长度；
（ii）求证：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，曲线W：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≥0）是椭圆x轴的上方部分，点B坐标为（-1，0），说明A只能在第二象限，且A点是直线与曲线W的交点，横坐标为-1，带入曲线W求点A的坐标，再带入直线方程求出k．
（2）（i）设点A，点D的坐标，设而不求的思想，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．那么四边形ABCD是直角梯形或矩形，由点A，点D的坐标建立关系．k不存在时，四边形ABCD也不存在，所以k必须存在．
（ii）利用点A，点D的坐标表示△OAD的面积为S₁，四边形ABCD的面积为S₂，其比值大于等于$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由题意，y=kx+1与曲线W交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．点B坐标为（-1，0），则点A的横坐标为-1，带入曲线W：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得点A的纵坐标为$\frac{3}{2}$，即A（-1，$\frac{3}{2}$）
∵点A在直线y=kx+1，则有：$\frac{3}{2}=k×（-1）+1$，
∴解得k=-$\frac{1}{2}$

（2）（i）由题意，k不存在时，四边形ABCD也不存在，所以k必须存在．
设点A（x_A，y_A），点D（x_D，y_D），则点B（x_A，0），点C（x_D，0）
直线l：y=kx+1与曲线W交于A，D两点，
A，D两点带入：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，y=kx+1，消去y，
解得：x_A+x_D=$\frac{-8k}{3+4{k}^{2}}$
x_Ax_D=$\frac{-8}{3+4{k}^{2}}$
|AD|=$\sqrt{1{+k}^{2}}•\sqrt{{（x}_{A}+{x}_{D}）^{2}-4{x}_{A}xD}$=$\frac{4\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$
△OAD的面积为S₁，设原点（0，0）到直线l：y=kx+1距离为h，
则h=$\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
S₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{2}$|AD|•h
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$
|AD|=$\frac{4\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{6}}{6}$
（ii）由题意及（i）：可知：S₁=$\frac{1}{2}$|AD|•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2×$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+4{k}^{2}}$
A，D两点带入：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，y=kx+1，消去x
y_A+y_D=$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$
四边形ABCD的面积为S₂
S₂=$\frac{1}{2}（{y}_{A}{+y}_{D}）•（{x}_{A}+{x}_{D}）$=$\frac{1}{2}×$$\frac{6}{3+4{k}^{2}}$×|$\frac{-8k}{3+4{k}^{2}}$|=$\frac{24k}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$
那么：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（2×$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+4{k}^{2}}$）÷$\frac{24k}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}•\sqrt{{k}^{2}+1}•（3+4{k}^{2}）}{12k}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}•\sqrt{\frac{（{k}^{2}+1）（3+4{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}}$$≥\frac{1}{2}$
得证．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了圆锥曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，计算量大，化简复杂，属于难题．