Question

6．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上 （　　）

• A． 一定单调递增
• B． 一定没有单调减区间
• C． 可能没有单调增区间
• D． 一定没有单调增区间

Answer 1

分析 根据对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），根据函数的单调性的定义可得结论．

解答 解：若f（x）是增函数，则由x＜x+1可知f（x）＜f（x+1）一定成立，但F（x）＜F（x+1）
并不能保证f（x）＜f（x+0.5），比如令f（x）=x+sin2πx
则f（x+1）=x+1+sin2πx=f（x）+1＞f（x）但显然它不单调，因此，无法证明f（x）是增函数，
同理，函数f（x）可能没有单调增区间，可能没有单调减区间．
故选C．

点评 本题考查了对函数单调性的定义的理解和运用能力．比较基础．