题目内容

14．已知矩形ABCD中，AB=2BC，若椭圆的焦点是AD，BC的中点，且点A，B，C，D在椭圆上，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

分析 由题意可知：设AB=4t，CB=2t，c=2t，则B（2t，t），丨BF2丨=t，由勾股定理可知：丨BF1丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，根据椭圆的定义可知丨BF1丨+丨BF2丨=2a，根据离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设AD，BC的中点分别为F1，F2，由题意可知：矩形ABCD是以F1，F2为焦点的椭圆的内接矩形，
设AB=4t，CB=2t，c=2t，
则B（2t，t），
∴丨BF2丨=t，丨BF1丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，
由椭圆的定义可知：丨BF1丨+丨BF2丨=2a=（$\sqrt{17}$+1）t，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{4}{\sqrt{17}+1}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
该椭圆的离心率$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆离心率公式的求法，考查数形结合思想，属于中档题．

练习册系列答案
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4．在等差数列{an}中，已知a3+a9=16，则a5+a7=（　　）
A．12B．16C．20D．24
5．已知数列{an}的前n项和Sn=-$\frac{1}{2}$n2+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8．
（1）求常数k的值，并求an；
（2）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（-4m，-2m）内的项的个数记为bm，若cm=$\frac{{a}_{m}•{b}_{m}}{{2}^{m}}$，求数列{cn}的前m项和Tm．
2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|}，{x≤2}\\{（x-2）^{2}}，{x＞2}\end{array}\right.$，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R．若函数y=f（x）-g（x）恰有2个零点，则b的取值范围是2＜b，b=$\frac{7}{4}$．
9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（　　）盏灯．
A．14B．12C．8D．10
19．下列函数中是奇函数的有几个（　　）
①$y=\frac{{{a^x}+1}}{{{a^x}-1}}$；
②$y=\frac{{lg（{1-{x^2}}）}}{{|{x+3}|-3}}$；
③y=ln|x-1|；
④$y={log_a}\frac{1+x}{1-x}$．
A．1B．2C．3D．4
6．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上 （　　）
A．一定单调递增B．一定没有单调减区间
C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间
3．设a，b，c为互不相等的正数，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．|a-b|≤|a|+|b|B．|a-b|≤|a-c|+|b-c|C．$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$D．a2+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥a+$\frac{1}{a}$
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为（　　）
A．$\frac{4}{9}$B．$\frac{5}{9}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{1}{3}$

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