Question

已知函数f（x）=alnx+

2

x+1

（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导函数f′（x），由导函数f′（x）＞0，得出f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在单调递减区间，则不等式f′（x）＜0有正数根，对a分a=0、a＜0、a＞0进行讨论，转化成一次函数或二次函数，写出等价条件，求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=lnx+

2

x+1

，定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，f_min（x）=f（1）=1
（2）f′(x)=

a

x

-

2

(x+1)2

=

ax2+2(a-1)x+a

x(x+1)2

∵f（x）存在单调递减区间∴f′（x）＜0有正数解，即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解，
 ①当a=0时，明显成立
②当a＜0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax²+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解
 ③当a＞0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向上的抛物线，即ax²+2（a-1）x+a=0有正根，因为x₁x₂=1＞0，所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根?

△＞0 x1+x2＞0

，解得0＜a＜

1

2

，综上得a＜

1

2

．

点评：本题考查利用导数求单调区间，由单调性求参数范围，运用等价转化、分类讨论思想，属于中档题．