Question

已知点A（-1，0），点A关于y轴的对称点为B，直线AM，BM相交于点M，且两直线的斜率k_AM、k_BM满足k_AM-k_BM=2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与y轴的交点为T，是否存在平行于AT的直线l，使得直线l与轨迹C有公共点，且直线AT与l的距离等于

2

2

？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）B（1，0），设M（x，y），则x≠±1，由k_AM-k_BM=2，得

y

x+1

-

y

x-1

=2，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）在方程y=-x²+1中，k_AT=1，假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+m，由

y=1-x2 y=x+m

，得x²+x+m-1=0，由此求出满足题意的直线l存在，其方程为y=x．

解答： 解：（1）∵点A（-1，0），点A关于y轴的对称点为B，
∴B（1，0），设M（x，y），则x≠±1，
由k_AM-k_BM=2，得

y

x+1

-

y

x-1

=2，
整理，得y=-x²+1，
∴点M的轨迹C的方程为y=-x²+1，x≠±1．
（2）在方程y=-x²+1中，令x=0，得y=1，即点T（0，1），
∴k_AT=1，
假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+m，
由

y=1-x2 y=x+m

，消去y，得x²+x+m-1=0，①
∵直线l与轨迹C有公共点，
∴方程①的根的判别式△=1-4（m-1）≥0，
即m≤

5

4

，
又由直线AT与l的距离等于

2

2

，得

|m-1|

2

=

2

2

，
解得m=0或m=2，
∵2∉（-∞，

5

4

]，0∈（-∞，

5

4

]，
∴满足题意的直线l存在，其方程为y=x．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．