Question

20．设不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集为A，且$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{2}$∉A．
①求a的值；
②求函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析 ①利用已知条件，代入得到a的范围即可．
②利用绝对值三角不等式直接求解函数的最小值即可．

解答 解：①因为$\frac{3}{2}∈A$，且$\frac{1}{2}∉A$，
所以$|{\frac{3}{2}-2}|＜a$，且$|{\frac{1}{2}-2}|≥a$
解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$，又因为a∈N^*，所以a=1；
②因为|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
当且仅当（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2时取得等号，
所以f（x）的最小值为3．

点评 本题考查集合的应用，函数的最值的求法，绝对值三角不等式的应用，考查计算能力．