Question

8．将下列参数方程化成普通方程：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t+1}{t-1}}\\{y=\frac{2t}{{t}^{3}-1}}\end{array}\right.$；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=3+15cosθ}\\{y=2+15sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）由$x=\frac{t+1}{t-1}$，解得t=$\frac{x+1}{x-1}$，代入y=$\frac{2t}{{t}^{3}-1}$化简即可得出，注意定义域．
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=3+15cosθ}\\{y=2+15sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），利用cos²θ+sin²θ=1化简即可得出，注意取值范围．

解答 解：（1）由$x=\frac{t+1}{t-1}$，解得t=$\frac{x+1}{x-1}$，
代入y=$\frac{2t}{{t}^{3}-1}$可得：y=$\frac{\frac{2（x+1）}{x-1}}{（\frac{x+1}{x-1}）^{3}-1}$，
化为y=$\frac{（x+1）（x-1）^{2}}{3{x}^{2}+1}$．
另一方面：由$x=\frac{t+1}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$≠1，
∴y=$\frac{（x+1）（x-1）^{2}}{3{x}^{2}+1}$的定义域是{x|x∈R，x≠1}．

∴y=$\frac{（x+1）（x-1）^{2}}{3{x}^{2}+1}$，x∈{x|x∈R，x≠1}．
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=3+15cosθ}\\{y=2+15sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），
可得（x-3）²+（y-2）²=225（x∈[-12，18]，y∈[-13，17]）．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．