Question

设两个向量

a

=（λ+2，λ²-cos²α）和

b

=（2m，

m

2

+sinα），其中λ，m，α为实数，若

a

=2

b

，则

λ

m

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：由向量共线知识，得到λ+2=2m且λ²-cos²α=m+2sinα，消去λ，得m的式子，运用三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的值域，解关于m的不等式，即可得到所求范围．

解答： 解：

a

=（λ+2，λ²-cos²α）和

b

=（2m，

m

2

+sinα），其中λ，m，α为实数，若

a

=2

b

，
则λ+2=2m且λ²-cos²α=m+2sinα，
消去λ，得（2m-2）²-m=2sinα+cos²α，
即有4m²-9m+4=2sinα-sin²α+1=-（sinα-1）²+2．
∵-1≤sinα≤1，∴0≤（sinα-1）²≤4，-4≤-（sinα-1）²≤0
∴-2≤2-（sinα-1）²≤2
∴-2≤4m²-9m+4≤2
分别解4m²-9m+4≥-2，与4m²-9m+4≤2得，

1

4

≤m≤2
∴

1

2

≤

1

m

≤4
∴

λ

m

=2-

2

m

，
∴-6≤2-

2

m

≤1
∴

λ

m

的取值范围是[-6，1]．
故答案为：[-6，1]．

点评：本题考查向量共线和垂直的条件，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．