Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据S_n=2a_n+n²-3n-2可得到S_n+1的表达式S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2，两式相减可得到a_n+1=2a_n-2n+2整理可得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），即数列{a_n-2n}为等比数列．
（2）先根据数列{a_n-2n}为等比数列求出a_n的表达式，再对n分奇偶数讨论可求出数列{b_n}的前n项和P_n．
（3）将a_n的表达式代入到中求出数列{c_n}的通项公式，进而可验证当n=1时满足，然后当n≥2时对进行放缩可得到Tn=得证．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
当n为偶数时，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=；
当n为奇数时，Pn=．
综上，；
（Ⅲ）．
当n=1时，T₁=
当n≥2时，

===
综上可知：任意n∈N，．
点评：本题主要考查构造等比数列求通项公式、求数列的前n项和．考查数列前n项和的不等式的证明．