Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，点列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直线y=x上．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用点列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直线y=x上，可得Sn=n2，再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）确定求数列{

1

anan+1

}的通项，利用裂项法，即可求和．

解答：解：（1）依题意有

Sn

n

=n，即Sn=n2…（1分）
当n=1时时，a₁=S₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1…（5分）
又n=1时时上式也成立
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（6分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生的计算能力，属于中档题．