Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n；数列满足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9项和为153
（1）{b_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{c_n}的前n项和，c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

，求使不等式T n＞

k

57

对?n∈N₊都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

2

n2+

11

2

n可知，当n=1时，a₁=S₁=6；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5，可得{a_n}的通项，又由已知可得bn+1=

bn+bn+2

2

，即{b_n}是等差数列，设其公差为d．有

b1+2d=11 9b1+36d=153

可解得

b1=5 d=3

，可得通项；
（2）把（1）的结果代入可得cn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由列项相消法可得T_n，进而可求得T_n的最小值，只需其最小值（T_n）_min＞

k

57

成立即可，解之可得．

解答：解：（1）∵Sn=

1

2

n2+

11

2

n，∴当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

11

2

n-

1

2

(n-1)2-

11

2

(n-1)=n+5
经验证，当n=1时，上式也适合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴bn+1=

bn+bn+2

2

，
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d．
则

b1+2d=11 9b1+36d=153

解得

b1=5 d=3

，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

2n+1

∵n∈N₊，∴T_n是单调递增数列，
∴当n=1时，（T_n）_min=T₁=1-

1

3

=

2

3

∴Tn＞

k

57

对?n∈N₊都成立，等价于（T_n）_min＞

k

57

成立，
即

2

3

＞

k

57

，解得k＜38
∴所求最大正整数k的值为37．

点评：本题为数列和不等式的综合应用，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，属中档题．