Question

10．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx，若f（x）无极值点，则a的取值范围是a≤2．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用函数无极值点，判断导函数的符号恒为非正或非负，然后利用基本不等式求解即可．

解答 解：由题意f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$．
由于f（x）无极值点，故x²-ax+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）恒成立，
又x+$\frac{1}{x}$≥2（x=1取等号），
故函数f（x）_min=2，∴a≤2．
故答案为：a≤2．

点评 本题考查函数的导数的应用，导函数的符号与函数的单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．