Question

20．已知函数f（x）=e^-x+$\frac{nx}{mx+n}$．
（1）若m=0，n=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求$\frac{m}{n}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数，取得函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；
（2）确定f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$≥0在[0，+∞）上恒成立，设$\frac{m}{n}$=t，则$\frac{1}{tx+1}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，tx+1≤${e}^{\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，由此即可求$\frac{m}{n}$的最大值．

解答 解：（1）若m=0，n=1，f（x）=e^-x+x，
∴f′（x）=-e^-x+1，
∴x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减；x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=0时，函数取得极小值，也是最小值为1；
（2）∵f（x）=e^-x+$\frac{nx}{mx+n}$，
∴f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$，
∵f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，f（0）=1，
∴f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴$\frac{n}{mx+n}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，
设$\frac{m}{n}$=t，则$\frac{1}{tx+1}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，
∴tx+1≤${e}^{\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立
令g（x）=tx+1-${e}^{\frac{x}{2}}$，g′（x）=t-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{x}{2}}$，
∴函数在[0，2ln2t）上单调递减，[2ln2t，+∞）上单调递增，
∴x=2ln2t时，g（x）_min=2tln2t+1-2t，
∴2tln2t+1-2t≤0，
∵2t=1，2tln2t+1-2t=0，2t＜1，2tln2t+1-2t＜0，2t＞1，2tln2t+1-2t＞0，
∴2t≤1，∴t≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{n}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．