题目内容

《保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点前一位数字为叶）如图所示：

（l）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（2）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：应用题,概率与统计
分析：（1）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率．
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
5
15
=
1
3
，ξ可能取0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从15条鱼中选3条，共有C153种结果，
而满足条件的事件是恰好有1条鱼汞含量超标有C51C102种结果，
记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
∴P（A）=
C
1
5
C
2
10
C
3
15
=
45
91

∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
45
91
；
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=
5
15
=
1
3
，
这是在相同条件下进行的试验，各次之间相互独立，所以这是一个独立重复试验，
所有ξ的取值为0，1，2，3，根据独立重复试验公式，
PP（ξ=0）=
C
0
3
(1-
1
3
)3=
8
27
，P（ξ=1）=
C
1
3
•
1
3
•(1-
2
3
)2=
4
9
，
P（ξ=2）=
C
2
3
•(
1
3
)2(1-
1
3
)=
2
9
，P（ξ=3）=
C
3
3
(
1
3
)3=
1
27
，
其分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
…（12分）
Eξ=0×
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
在（
x
+
1
x2
）n的二项展开式中，第三项的系数与第二项的系数的差为20，则展开式中含
1
x
的项的系数为（　　）
A、8B、28C、56D、70
国家标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取6辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下：（单位：mg/km）
A 85 80 85 60 90
B 70 x 95 y 75
由于表格被污损，数据x看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，且方差分别记为sA2，sB2．
（1）求x及sB2的值；
（2）从被检测的6辆B种型号的出租车中任取3辆，记“氮氧化物排放量未超过80mg/km”的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中，直线l：ρcos（θ-
π
4
）=
2
2
与直角坐标系中的曲线C：
x=cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），交于A、B两点．
（Ⅰ）求直线l在直角坐标系下的方程；
（Ⅱ）求点M（-1，2）与A、B两点的距离之积|MA||MB|．
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．

（1）在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
已知f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1（a为常数），若f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
若α，β为两个不同的平面，m、n为不同直线，下列推理：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则直线m⊥n；
②若直线m∥平面α，直线n⊥直线m，则直线n⊥平面α；
③若直线m∥n，m⊥α，n?β，则平面α⊥平面β；
④若平面α∥平面β，直线m⊥平面β，n?α，则直线m⊥直线n；
其中正确说法的序号是
 
．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且
A1P
=λ
A 1B1

（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（2）当λ=
1
2
时，求直线PN与平面ABC所成角的余弦值．
在平面直角坐标系中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，直线l1、l2分别过点A、B且与x轴垂直，点（1，e）和（2，0）均在椭圆上，其中e为椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上不同于点A、B的任意一点，直线AP与l2交于点D，直线BP与l1于点E，线段OD和OE分别与椭圆交于点R，G．
（ⅰ）是否存在定圆与直线DE相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求证：
1
OG2
+
1
OR2
为定值．

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