题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三角形的面积为
，又
=
，则
+
的最大值为 ．
| 3 |
| cosC |
| cosB |
| c |
| 2a-b |
| 1 |
| b+1 |
| 9 |
| a+9 |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,正弦定理
专题：导数的综合应用,解三角形
分析：由
=
，由正弦定理可得
=
，可得cosC=
，C．利用
absin
=
，可得ab=4．可得
+
=
+
=f（a），（a＞0）．再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
| cosC |
| cosB |
| c |
| 2a-b |
| cosC |
| cosB |
| sinC |
| 2sinA-sinB |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| b+1 |
| 9 |
| a+9 |
| a |
| 4+a |
| 9 |
| a+9 |
解答：
解：由
=
，利用正弦定理可得
=
，
化为2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=
，
∵C∈（0，π），
∴C=
．
∵三角形的面积为
，
∴
absinC=
absin
=
，∴ab=4．
∴b=
．
∴
+
=
+
=f（a），（a＞0）．
∴f′（a）=
-
=
，
当a＞6时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减；当0＜a＜6时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增．
∴当a=6时，f（a）取得最大值，f（6）=
．
∴
+
的最大值为
．
故答案为：
．
| cosC |
| cosB |
| c |
| 2a-b |
| cosC |
| cosB |
| sinC |
| 2sinA-sinB |
化为2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=
| 1 |
| 2 |
∵C∈（0，π），
∴C=
| π |
| 3 |
∵三角形的面积为
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴b=
| 4 |
| a |
∴
| 1 |
| b+1 |
| 9 |
| a+9 |
| a |
| 4+a |
| 9 |
| a+9 |
∴f′（a）=
| 4 |
| (4+a)2 |
| 9 |
| (a+9)2 |
| -5(a+6)(a-6) |
| (a2+13a+36)2 |
当a＞6时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减；当0＜a＜6时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增．
∴当a=6时，f（a）取得最大值，f（6）=
| 6 |
| 5 |
∴
| 1 |
| b+1 |
| 9 |
| a+9 |
| 6 |
| 5 |
故答案为：
| 6 |
| 5 |
点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、正弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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