Question

已知：无论a取何值，直线（a+2）x+（a+1）y+a=0始终平分半径为2的圆C．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点A（-1，4）作圆C的切线l，求切线l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）求出动直线经过的定点，即圆C的圆心，然后代入圆的标准方程得答案；
（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求解斜率，则切线方程可求．

解答： 解：（1）由（a+2）x+（a+1）y+a=0，得
a（x+y+1）+2x+y=0，
联立

x+y+1=0 2x+y=0

，解得：

x=1 y=-2

．
∴直线（a+2）x+（a+1）y+a=0过定点（1，-2）．
即圆的圆心为（1，-2）．
又圆的半径为2．
∴圆的方程为：（x-1）²+（y+2）²=4；
（2）如图，

当切线l的斜率不存在时，切线方程为x=-1；
当切线l的斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x+1），
整理得：kx-y+k+4=0．
由圆心（1，-2）到切线的距离等于圆的半径得：

|1×k-1×(-2)+k+4|

k2+1

=2，解得：k=-

4

3

．
∴切线l的方程为：-

4

3

x-y-

4

3

+4=0．
整理得：4x+3y-8=0．
综上，圆的切线方程为x=-1或4x+3y-8=0．

点评：本题考查圆的标准方程的求法，训练了直线系方程的用法，考查了利用几何法求圆的切线方程，是中档题．