Question

10．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≤0}\\{{e}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，则满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． ）（0，+∞）
• C． （-1，+∞）
• D． .$（{-\frac{1}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由已知分m≤0和m＞0分别求出f（m），进一步得到f（f（m）），代入f（f（m））＞f（m）+1，由导数可得：当x＞0时，e^x＞x+1，结合该式即可求得满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围．

解答 解：当m≤0时，f（m）=2m+1∈（-∞，1]，
若2m+1≤0，即m$≤-\frac{1}{2}$，则f（f（m））＞f（m）+1?2（2m+1）+1＞2m+1+1，即m＞-$\frac{1}{2}$（舍）；
若2m+1＞0，即m$＞-\frac{1}{2}$，则f（f（m））＞f（m）+1?e^2m+1＞2m+1+1，
令g（x）=e^x-x-1，g′（x）=e^x-1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，则g（x）＞g（0）=0，
∴当x＞0时，e^x＞x+1，故e^2m+1＞2m+1+1成立，∴-$\frac{1}{2}＜m≤0$；
当m＞0时，f（m）=e^m＞0，则f（f（m））＞f（m）+1?${e}^{{e}^{m}}$＞e^m+1，
令t=e^m（t＞1），则e^t＞t+1，
∵当x＞0时，e^x＞x+1成立，∴e^t＞t+1恒成立，则m＞0时不等式f（f（m））＞f（m）+1成立．
综上，满足f（f（m））＞f（m）+1的m的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．