Question

8．已知kC_n^k=nC_n-1^k-1（1≤k≤n，且k，n∈N^*）可以得到几种重要的变式，如：$\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{1}{n}$C_n^k，将n+1赋给n，就得到kC_n+1^k=（n+1）C_n^k-1，…，进一步能得到：1C_n¹+2C_n²•2¹+…+nC_nⁿ•2^n-1=nC_n-1⁰+nC_n-1¹•2¹+nC_n-1²•2²+…+nC_n-1^n-1•2^n-1=n（1+2）^n-1=n•3^n-1．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C_n⁰×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$C_n¹×（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$C_n²×（$\frac{1}{3}$）³+…+$\frac{1}{n+1}$C_nⁿ×（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{n+1}[{（\frac{4}{3}）^{n+1}}-1]$．

Answer 1

分析 由$kC_{n+1}^k=（n+1）C_n^{k-1}$，可得$\frac{1}{k}C_n^{k-1}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^k$，即$\frac{1}{k}C_n^{k-1}{（\frac{1}{3}）^k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^k{（\frac{1}{3}）^k}$，再利用二项式定理即可得出．

解答 解：由$kC_{n+1}^k=（n+1）C_n^{k-1}$，得$\frac{1}{k}C_n^{k-1}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^k$，$\frac{1}{k}C_n^{k-1}{（\frac{1}{3}）^k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^k{（\frac{1}{3}）^k}$，
∴$C_n^0×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}C_n^1×{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{1}{3}C_n^2×{（\frac{1}{3}）^3}+…+\frac{1}{n+1}C_n^n{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$
=$\frac{1}{n+1}C_{n+1}^0×{（\frac{1}{3}）^0}+\frac{1}{n+1}C_{n+1}^1×{（\frac{1}{3}）^1}+\frac{1}{n+1}C_{n+1}^2×{（\frac{1}{3}）^2}+…+\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{n+1}{（\frac{1}{3}）^n}$
=$\frac{1}{n+1}[{（1+\frac{1}{3}）^{n+1}}-1]=\frac{1}{n+1}[{（\frac{4}{3}）^{n+1}}-1]$．
故案为：$\frac{1}{n+1}[{（\frac{4}{3}）^{n+1}}-1]$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．