Question

18．在我校自编操比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首．
（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；
（2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，再求出甲、乙两班选择不同曲目包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两班选择不同曲目的概率．
（2）由已知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）在我校自编操比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，
∴甲、乙两班选择不同曲目的概率P=$\frac{{A}_{3}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∴甲、乙两班选择不同曲目的概率为$\frac{2}{3}$．
（2）∵这四个班级总共选取了X首曲目，∴X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{2}^{4}-2）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{3}^{4}}$=$\frac{12}{27}$．
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{12}{27}$

E（X）=$1×\frac{1}{27}+2×\frac{14}{27}$+3×$\frac{12}{27}$=$\frac{65}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．