Question

试构造函数f（x）使得：
（1）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]；
（2）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点有且只有一个原象与之对应；
（3）f（x）定义域为（0，1），值域为[0，1]且f（x）值域上每一点都有无数个原象与之对应．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,压轴题,函数思想

分析：（1）构造函数f（x）是从（0，1）到[0，1]的一个映射，满足定义域是（0，1），值域是[0，1]；
（2）构造分段函数f（x）满足定义域为（0，1），值域为[0，1]且是一一对应的；
（3）构造函数f（x）满足定义域是（0，1），值域是[0，1]，且满足多对一的特征，即f﹙x﹚=a有无穷多个解．

解答： 解：（1）f（x）是从（0，1）到[0，1]的一个映射，（跟证明（0，1）与[0，1]中的点一样多等价）
取子序列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…n∈N^*；
与0，1，

1

2

，

1

4

，…，进行对应，而其他的点不变，就构成从（0，1）到[0，1]的一个映射f，即函数f（x）满足条件；
（2）f（x）=

2x，x= 1 2n 3x，x= 1 3n 0，x= 1 3 x，x∈(0，1)，x≠ 1 2n ，x≠ 1 3n ，n∈N*

①f（x）=x，x∈﹙0，1﹚，且x≠

1

2n

，x≠

1

3n

时，
f（x）的图象是f（x）=x挖去x=0，x=1，x=

1

2n

和x=

1

3n

点，除去这些点外时取x=a，
∴f（x）=a只有一解，此时f（x）值域不能取到0，1，

1

2n

，

1

3n

这些值；
②x=

1

3

时f（x）=0，即只能在x=

1

3

处取得；
③f（

1

2

）=1，f（

1

4

）=

1

2

，f（

1

8

）=

1

4

，…，∴f（x）的值域能取到1，

1

2

，…，

1

2n

，且满足唯一性；
④f（

1

3

）=0，f（

1

9

）=

1

3

，f（

1

27

）=

1

9

，…，∴f（x）值域能取到0，

1

3

，…，

1

3n

，且满足唯一性；
（3）f（x）=sin

1

x

，x∈（0，1）；
当x∈（0，1）时，

1

x

∈（1，+∞），∴sin

1

x

∈[0，1]；
∴f（x）的值域是[0，1]，且对于任意a∈[0，1]，f﹙x﹚=a有无穷多个解．

点评：本题考查了构造函数的问题，解题时应结合函数与映射的关系进行解答，是竞赛或压轴题题目．