Question

已知分段函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=

x

x+1

．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性得到f（-1）=-f（1）代入求出即可；
（2）任取x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），则f（-x）=

-x

-x+1

，根据函数的奇偶性，从而得到函数在（-∞，0）是的解析式；
（3）任取x₁，x₂为区间（0，+∞）上的两个不相等的实数，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，通过计算△y的值，从而证明函数的单调性．

解答： 解：（1）f（-1）=-f（1）=-

1

2

；
（2）任取x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），∴f（-x）=

-x

-x+1

，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

x

-x+1

，x∈（-∞，0）；
（3）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂为区间（0，+∞）上的两个不相等的实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

x2+1

-

x1

x1+1

=

x2-x1

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴（x₂+1）＞0，（x₁+1）＞0，
又x₂-x₁=△x＞0，
∴△y＞0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求函数的解析式问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．