Question

18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{2}$EA=$\sqrt{2}$ED，EF∥BD
（ I）证明：AE⊥CD
（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；
（II）取AD的中点O，连接EO，以O为原点建立坐标系，设$\frac{EM}{ED}=λ$，求出平面BDEF的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，根据方程的解得出结论．

解答 （I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，
∴AE⊥CD．
（II）解：取AD的中点O，过O作ON∥AB交BC于N，连接EO，
∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，
∴OE⊥平面ABCD，
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
设正方形ACD的边长为2，$\frac{EM}{ED}=λ$，
则A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），E（0，0，1），M（-λ，0，1-λ）
∴$\overrightarrow{AM}$=（-λ-1，0，1-λ），$\overrightarrow{DE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ}^{2}+2}}$，
令|$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ}^{2}+2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得λ=0，
∴当M与点E重合时，直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．