Question

【题目】已知函数；

（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，求函数在上的最值；

（3）当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数在区间上的最大值是，最小值是0；（3）见解析.

【解析】

（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出的范围即可；
（2）将代入，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（3）求出函数的导数，得到函数的单调性，令 ，得到 ，从而证出结论．

（1）因为，所以

因为函数在上为增函数，所以对恒成立，

所以对恒成立，即对恒成立，所以.

(2)当时，，所以当时，，故在上单调递减；当，，故在上单调递增，所以在区间上有唯一极小值点，故，又，，，

因为，所以，即

所以在区间上的最大值是

综上可知，函数在区间上的最大值是，最小值是0.

（3）当时，，，故在上为增函数.

当时，令，则，故

所以，即>

当时，对大于1的任意正整数，有 >