题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=
Sn
n
+2（n-1），（n∈N*），若S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-（n-1）2=2015，则n的值为（　　）
A、1008B、1007
C、2014D、2015
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：由已知条件得Sn=nan-2n（n-1），从而推导出数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，进而得到an=4n-3，所以
Sn
n
=an-2（n-1）=4n-3-2（n-1）=2n-1，故S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-（n-1）2=2n-1，由此能求出结果．
解答： 解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=
Sn
n
+2（n-1），（n∈N*），
∴Sn=nan-2n（n-1），
Sn-1=（n-1）an-2（n-1）（n-2），n≥2
Sn-Sn-1=an=nan-2n（n-1）-（n-1）an+2（n-1）（n-2）
an-an-1=4，
又a1=1，数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
an=1+4（n-1）=4n-3
数列{an}的通项公式为an=4n-3，
Sn
n
=an-2（n-1）=4n-3-2（n-1）=2n-1，
∴S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-（n-1）2
=2（1+2+3+…+n）-n-（n-1）2
=n（n+1）-n-（n-1）2
=2n-1，
∵S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-（n-1）2=2015，
∴2n-1=2015，
解得n=1008．
故选：A．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点（-
2
，-3），则双曲线的方程为（　　）
A、
x2
4
-y2=1
B、x2-y2=7
C、y2-x2=7
D、-
x2
4
+y2=1
已知直线
x=1-
1
2
t
y=
3
2
t
，的倾斜角的度数为（　　）
A、30B、60
C、120D、150
设f（x）=x2（2-x），则f（x）的单调增区间是（　　）
A、x∈（0，
4
3
）
B、x∈（
4
3
，+∞）
C、x∈（-∞，0）
D、x∈（-∞，0）∪（
4
3
，+∞）
p是q的充要条件，s是q的必要不充分条件，则s是p的（　　）条件．
A、充分不必要
B、必要不充分
C、既不充分也不必要
D、充要
已知2x+y=0是双曲线x2-λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（　　）
A、
2
B、
3
C、
5
D、2
若△ABC的内角满足sinA+
2
sinB=2sinC，则cosC的最小值是（　　）
A、
6
+
2
4
B、
6
-
2
4
C、
1
2
D、
3
2
以下公式中：①an=
2
2
[1-（-1）n]；②an=
1-(-1)n
；③an=
2
，(n为奇数)
0，(n为偶数)
，可以作为数列
2
，0，
2
，0，
2
，0，…通项公式的是（　　）
A、①②B、②③C、①③D、①②③
已知公比为整数的等比数列{an}中，a1=1，a3=2a2+3，在等差数列{bn}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Sn．

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