Question

14．已知圆C：x²+y²-4x-4y+4=0，点E（3，4）．
（1）过点E的直线l与圆交与A，B两点，若AB=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点记为M，O为坐标原点，且满足PM=PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程；
（2）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得y+x-1=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线y+x-1=0的距离．

解答 解：圆C方程可化为（x-2）²+（y-2）²=4
（1）当直线l与x轴垂直时，满足$AB=2\sqrt{3}$，所以此时l：x=3…（2分）
当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y-4=k（x-3），
即y=kx-3k+4…（3分）
因为$AB=2\sqrt{3}$，所以圆心到直线的距离$d=\sqrt{4-3}=1$…（4分）
由点到直线的距离公式得$\frac{|-k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解得$k=\frac{3}{4}$
所以直线l的方程为$y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$…（6分）
所以所求直线l的方程为x=3或 $y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$…（7分）
（2）因为PM=PO，$PM=\sqrt{{{（{x_1}-2）}^2}+{{（{y_1}-2）}^2}-4}$，$PO={\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}_{\;}}^{\;}$
化简得y₁+x₁-1=0…（10分）
即点P（x₁，y₁）在直线y+x-1=0上，…（12分）
当PM最小时，即PO取得最小，此时OP垂直直线y+x-1=0
所以OP的方程为y-x=0…（14分）
所以$\left\{{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{y+x-1=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
所以点P的坐标为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$…（16分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．