Question

9．已知直线y=x+b与圆x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则实数b的值为1或-4．

Answer 1

分析 将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证．

解答 解：由直线y=x+b与圆x²+y²-2x+4y-4=0，消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x₁x₂=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$，x₁+x₂=-b-1．             ②
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0③
将②代入③得：b²+3b-4=0．                  
解得：b=1或b=-4，
b=1时，方程为2x²+4x+1=0，判别式△=16-8＞0，满足题意
b=-4时，方程为2x²-6x-4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意
所以满足条件的b为：b=1或b=-4．
故答案为1或-4．

点评 本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用．