Question

设平面上的向量

a

，

b

，

x

，

y

满足

a

=

y

-

x

，

b

=2

x

-

y

，又

a

与

b

的模为1且互相垂直
（1）用

a

，

b

表示

x

，

y

（2）求|

x

|与|

y

|（3）求

x

与

y

的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知数据解关于

x

和

y

的方程组可得

x = a + b y =2 a + b

；
（2）由模长公式代入数据计算可得；
（3）又由数量积的计算可得

x

•

y

，代入夹角公式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=

y

-

x

，

b

=2

x

-

y

，
∴联立解关于

x

和

y

的方程组可得

x = a + b y =2 a + b

；
（2）由（1）知

x = a + b y =2 a + b

，且

a

与

b

的模为1且互相垂直，
∴|

x

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

12+2×1×1×0+12

=

2

同理可得|

y

|=

(2 a + b )2

=

4×12+12

=

5

；
（3）由（1）（2）可知|

x

|=

2

，|

y

|=

5

，

x

•

y

=（

a

+

b

）•（2

a

+

b

）=2

a

2+3

a

•

b

+

b

2=3，
∴

x

与

y

的夹角的余弦值cosθ=

x • y

| x || y |

=

3

2 • 5

=

3 10

10

点评：本题考查向量的数量积和斜率的夹角，属基础题．