Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-

2

f(x)

（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增．已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα），f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情况均有可能

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断函数f（x）是周期为2的周期函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．

解答： 解：由f（x+1）=-

2

f(x)

得f（x+2）=-

2

f(x+1)

=-

2

- 2 f(x)

=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵在区间（2013，2014）上单调递增，
∴在区间（-1，0）上单调递增，
∵f（x）是偶函数，∴在区间（0，1）上单调递减，
在锐角三角形中，π-α-β＜

π

2

，
∴α+β＞

π

2

，即

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，
cosα＜cos（

π

2

-β）=sinβ，
则f（sinα）＜f（cosβ），
故选：A．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．