Question

17．已知函数f（x）=-4^x+2^x+1+2．
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）若关于x的函数F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（t）=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，运用二次函数性质求解；
（2）由（1）可知m=3或2≤m＜$\frac{11}{4}$时，关于x的函数F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一个零点．

解答 解：（1）∵设t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]
∴g（t）=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，对称轴为t=1，
g（1）=3，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{4}$，g（2）=2
∴函数f（x）=-4^x+2^x+1+2的值域：[2，3]．
（2）由（1）可知m=3或2≤m＜$\frac{11}{4}$时，
关于x的函数F（x）=f（x）-m在[-1，1]上恰有一个零点．

点评 本题考查了二次函数的性质，换元法求解函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．