Question

下列函数中，既是奇函数又是定义域上的增函数的是（　　）

• A、y=x+1
• B、y=e^x-e^-x
• C、y=

  -2

  x

• D、y=x

  x

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：抓住题目要求，判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可．

解答： 解：选项A中函数为非奇非偶函数，不符合题意；
选项D中函数为非奇非偶函数，不符合题意；
选项C中，该函数的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞），不符合题目要求；
选项B中，函数y=e^x-e^-x
该函数的定义域为R，
设y=f（x），则f（-x）=e^-x-e^x=-f（x）
所以该函数为奇函数，
任设x₁，x₂∈R x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

＜0，
所以该函数为增函数，
满足条件，
故选B．

点评：本题重点考查函数的单调性与奇偶性的及其运用，函数具备奇偶性的前提为给定函数的定义域关于原点对称；函数的单调性的判断可以结合图象，也可以借助于定义求解．