Question

前不久央视记者就“你幸福吗？”采访了走在接头及工作岗位上的部分人员．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

幸福感指数	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人数	10	20	220	125	125
女居民人数	10	10	180	175	125

根据表格，解答下面的问题：
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该地区居民幸福感指数的平均值；
（2）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．据此，又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由已知条件，利用调查数据，分别求出幸福感指数在[4，6），[6，8）内的频数，由此能求出结果．
（2）由已知条件，能推导出X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.3），由此能求出X的分布列及期望．

解答： 解：（1）幸福感指数在[4，6），[6，8）内
的频数分别为220+180=400和125+175=300，
因为总人数为1000，
所以，相应的频率÷组距为：
400÷1000÷2=0.2，
300÷1000÷2=0.15，
据此可补全频率分布直方图如右图．…3分
所求的平均值为：
0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46．…5分
  （2）男居民幸福的概率为

125+125

500

=05．
女居民幸福的概率为

175+125

500

=0.6
故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3…7分
 因此X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.3）
于是P（X=K）=C

K 3

0.3^K（1-0.3）^3-K（K=0，1，2，3）…9分
∴P（X=0）=

C

0 3

0.3⁰（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=

C

1 3

0.3（1-0.3）²=0.441，
P（X=2）=

C

2 3

0.3²（1-0.3）=0.188，
P（X=3）=

C

3 3

0.3³（1-0.3）⁰=0.027．
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

E（X）=np=0.3×3=0.9  …12分
（或E（X）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9）…12分

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意二项分布的合理运用．