Question

将二次函数y=-x²的图象按

a

=（h，1）平移，使得平移后的图象与函数y=x²-x-2的图象有两个不同的公共点A和B，且向量

OA

+

OB

（O为原点）与向量

b

=（2，-4）共线，求平移后的图象的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：平面向量及应用

分析：根据向量平移可以设所求解析式为y=-（x-h）²+1，所以联立解析式y=x²-x-2便可得到2x²-（2h+1）x+h²-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理便得x1+x2=

2h+1

2

，x1x2=

h2-3

2

，并且能得到y1+y2=-

5

4

，这样便得到

OA

+

OB

=(

2h+1

2

，-

5

4

)，而根据向量

OA

+

OB

和向量

b

共线，即知存在实数，并且知道该实数为

5

16

，使得

OA

+

OB

=

5

16

b

，带入坐标即可求得h．

解答： 解：设所求解析式为y-1=-（x-h）²；
由

y=-(x-h)2+1 y=x2-x-2

得，2x²-（2h+1）x+h²-3=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：
x1+x2=

2h+1

2

，x1x2=

h2-3

2

；
∴y1+y2=x12-x1-2+x22-x2-2=(x1+x2)2-2x1x2-(x1+x2)-4=(

2h+1

2

)2-2•

h2-3

2

-

2h+1

2

-4=-

5

4

；
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=（

2h+1

2

，-

5

4

）；
∵

OA

+

OB

和

b

=(2，-4)共线；
∴(

2h+1

2

，-

5

4

)=

5

16

(2，-4)；
∴

2h+1

2

=

5

8

；
∴h=

1

8

；
∴所求解析式为y=(x-

1

8

)2+1=x2-

1

4

x+

65

64

；
即y=x2-

1

4

x+

65

64

．

点评：考查向量平移的概念，及平移前后坐标的关系，韦达定理，共线向量基本定理，以及向量坐标的数乘运算．