Question

已知sin（2α+β）+2sinβ=0，求证：tanα=3tan（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：把已知等式左边的角β变为（α+β）-α，右边的角2α+β变为（α+β）+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos（α+β），利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．

解答： 证明：将条件化为：sin[（α+β）+α]+2sin[（α+β）-α]=0，
展开得：sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα+2sin（α+β）cosα-2cos（α+β）sinα=0，
即：3sin（α+β）cosα=cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，两边同除以cos（α+β）cosα，
可得：tanα=3tan（α+β）=．（12分）

点评：此题考查了三角函数的恒等式的证明，用到的知识有：两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，把已知等式左右两边的角度灵活变换是本题的突破点．