Question

11．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线FE交该双曲线右支于点P，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EF}$=0，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，运用双曲线的定义，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．

解答 解：设右焦点为F'，
若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EF}$=0，
可得E为FP的中点，且OE⊥PF，
作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线FE交该双曲线右支于点P，
可得OE=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$c，
由中位线定理可得Rt△PFF′中，
则PF′=2OE=c，
且PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=2a+c，
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即（2a+c）²+c²=4c²，
化为2a=（$\sqrt{3}$-1）c，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的定义和简单性质：离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题．