Question

6．已知点M在线段AB上，且|AM|=1，$|MB|=\sqrt{2}$，当线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动时，动点M的轨迹记为C．
（1）求C的方程；
（2）过点P（0，1）且互相垂直的两条直线交C于E，F（E，F异于点P）两点，当△PEF的外接圆的圆心在直线y=x上时，求直线EF的方程．

Answer 1

分析 （1）欲求点P的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用$\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{MB}$，确定坐标之间的关系，结合长为$\sqrt{2}+1$的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，即可得出结论．
（2）设直线PE的斜率为k，则直线PE的方程为：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx=0⇒x_E、y_E
以-$\frac{1}{k}$换x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．中的k得x_F、y_F，由线段EF中点为H（$\frac{{x}_{E}+{x}_{F}}{2}，\frac{{y}_{E}+{y}_{F}}{2}$）在直线y=x上，
即x_E+x_F=y_E+y_F，解得k即可．

解答 解：（1）设M（x，y）、A（x₀，0）、B（0，y₀），
则$\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{MB}$，∴（x-x₀，y）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-x，y₀-y），
${x}_{0}=-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}x，{y}_{0}=（\sqrt{2}+1）y$，…①
∵|AB|=$\sqrt{2}$+1，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（\sqrt{2}+1）^{2}$…②
把①代入②得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，故动点M的轨迹记为C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线PE的斜率为k，则直线PE的方程为：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx=0⇒x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．
${y}_{E}=k{x}_{E}+1=\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
以-$\frac{1}{k}$换x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．中的k得x_F=$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$，${y}_{F}=\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
∵△PEF的外接圆的圆心在斜边EF的中点H处．
∵线段EF中点为H（$\frac{{x}_{E}+{x}_{F}}{2}，\frac{{y}_{E}+{y}_{F}}{2}$）在直线y=x上，
即x_E+x_F=y_E+y_F，∴$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}+\frac{4k}{{k}^{2}+2}=\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
解得k=-2或$\frac{1}{2}$．
当k=-2时，E（$\frac{8}{9}$，$\frac{-7}{9}$），F（$\frac{-4}{3}$，$\frac{1}{3}$），此时EF方程为：3x+6y+2=0
当k=$\frac{1}{2}$时，F（$\frac{8}{9}$，$\frac{-7}{9}$），E（$\frac{-4}{3}$，$\frac{1}{3}$），此时EF方程为：3x+6y+2=0
综上直线EF的方程为：3x+6y+2=0

点评 本题考查了动点轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，运算能力，属于中档题．