Question

19．已知函数$f（x）=lnx+\sqrt{x}+a（x-1）+b（a，b∈R，a，b$为常数）的图象经过点（1，0），且在点（1，0）处的切线与直线$y=-\frac{2}{3}x$垂直．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当1＜x＜3时，$f（x）＜\frac{9（x-1）}{x+5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将（1，0）代入f（x），求导则在（1，0）处切线斜率k=f′（1），由（1+$\frac{1}{2}$+a）×（-$\frac{2}{3}$）=-1，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）构造辅助函数$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}$，求导，根据函数的单调性，求得函数h（x）在（1，3）单递减，由h（1）=0，则$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}＜0$，不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）将（1，0）代f（x），可知：$0=ln1+\sqrt{1}+a（1-1）+b$①
∵求导$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+a$，则在（1，0）处切线斜率k=f′（1）=1+$\frac{1}{2}$+a，
则（1+$\frac{1}{2}$+a）×（-$\frac{2}{3}$）=-1，②
由①、②解得：a=0，b=-1，
a、b的值0，-1；…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知$f（x）=lnx+\sqrt{x}-1$令$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}$
则当1＜x＜3时，$h'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}$，
∵x＞1时，$2\sqrt{x}=2\sqrt{x•1}＜x+1$，
∴$h'（x）=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}＜\frac{x+5}{4x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{{{（x+5）}^3}-216x}}{{4x{{（x+5）}^2}}}$，…（8分）
令p（x）=（x+5）³-216x，则p'（x）=（x+5）³-216x=3（x+5）²-216，
∵1＜x＜3∴p'（x）=3（x+5）²-216＜3（3+5）²-216＜0，
∴p（x）=（x+5）³-216x在（1，3）内为减函数，
∵p（1）=（1+5）³-216=0，
∴当1＜x＜3时，$h'（x）=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}＜\frac{x+5}{4x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{{{（x+5）}^3}-216x}}{{4x{{（x+5）}^2}}}＜0$，
∴$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}$在（1，3）内为减函数，
∵h（1）=0，
∴当1＜x＜3时，$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}＜0$，
∴当1＜x＜3时，$f（x）＜\frac{9（x-1）}{x+5}$．…（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，利用导数求函数的切线方程，考查导数与不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．