题目内容

在平面直角坐标系xoy中，动点P在椭圆C1：
x2
2
+y2=1上，动点Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．
（1）求证：动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）设椭圆C1上的三点A（x1，y1），B（1，
2
2
），C（x2，y2）与点F（1，0）的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为？请说明理由．
（3）若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
（1）证明：设动点P（x0，y0），则
x02
2
+y02=1，
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为：
(x0-1)2+y02
|x0-2|
=
(x0-1)2+y02
(x0-2)2
=
(x0-1)2+1-
x02
2
(x0-2)2
=
2
2
，
而a=
2
，c=1，所以离心率e=
2
2
，
故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率；
（2）由（1）可得|AF|=
2
2
(2-x1)，|BF|=
2
2
(2-1)，|CF|=
2
2
(2-x2)，
因为2|BF|=|AF|+|CF|，
所以
2
2
(2-x1)+
2
2
(2-x2)=2×
2
2
(2-1)，即得x1+x2=2，
因为A，C在椭圆上，故有
x12
2
+y12=1，
x22
2
+y22=1，两式相减整理得：
kAC=
y2-y1
x2-x1
=-
x2+x1
2(y2+y1)
=-
1
y2+y1
，
设线段AC的中点（m，n），而m=
x1+x2
2
=1，n=
y1+y2
2
，
所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n，
则AC垂直平分线方程为y-n=2n（x-1），即y=n（2x-1）经过定点（
1
2
，0）；
（3）依题意知，直线PQ的斜率显然存在，设直线方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线方程PQ与椭圆C1相切，点P为切点，从而有
由
y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ，
故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0，从而可得m2=1+2k2，x1=-
2k
m
①，
直线PQ与圆C2相切，则
|m|
1+k2
=r，得m2=r2（1+k2）②，
由①②得k2=
r2-1
2-r2
，且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+（1-
x12
2
）-r2
=1+
x12
2
-r2=1+
2k2
1+2k2
-r2=3-r2-
2
r2
≤3-2
2
=(
2
-1)2，即|PQ|≤
2
-1，
当且仅当r2=
2
∈(1，4)时取等号，
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为
2
-1．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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