Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2

2

的圆C经过坐标原点O，椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出圆心的坐标，把原点代入圆方程求得t，则圆心坐标可得，进而求得圆的方程．
（2）设P（m，n），根据题意求得F的坐标，把点P和F代入圆的方程，联立求得m和n．

解答：解：（1）由已知可设圆心坐标为（t，t+4），
t²+（t+4）²=8得t=-2，所以圆心坐标为（-2，2），
所以圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）设P（m，n），由已知椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，得a=5
∴c²=25-9，c=4，故F（4，0），
则（m-4）²+（n-0）²=16，（m+2）²+（n-2）²=8
解之得：

m=0 n=0

或

m= 4 5 n= 12 5

．
∴P（0，0）或P（

4

5

，

12

5

）

点评：本题主要考查了圆的方程的综合应用．考查了考生综合运用所学知识的能力和数形结合的思想．