题目内容
(2013•东莞一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16 |
7 |
分析:(1)由题目给出的条件直接列关于a,b,c的方程组求解a,b的值,则椭圆方程可求;
(2)由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标,设出椭圆上的动点Q,由直线方程的两点式写出直线QA1,QA2的方程,取y=0后得到OS和OT的长度,结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值;
(3)假设存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大,由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式,由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离,由圆中的半径,半弦长和弦心距之间的关系求出弦长,写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值,利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式,联立后可求解M的坐标.
(2)由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标,设出椭圆上的动点Q,由直线方程的两点式写出直线QA1,QA2的方程,取y=0后得到OS和OT的长度,结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值;
(3)假设存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
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解答:解:(1)由题意:
,解得:a=2,b=
所以椭圆C:
+
=1;
(2)由(1)可知A1(0,
),A2(0,-
),设Q(x0,y0),
直线QA1:y-
=
x,令y=0,得xS=
;
直线QA2:y+
=
x,令y=0,得xT=
;
则|OS|•|OT|=|
•
|=|
|,
而
+
=1,所以3
=4(3-
),
所以|OM|•|ON|=|
|=4;
(3)假设存在点M(m,n)满足题意,则
+
=1,即m2=4-
n2.
设圆心到直线l的距离为d,则d=
,且d<
.
所以|AB|=2
=2
.
所以S△OAB=
•|AB|•d=
.
因为d<
,所以m2+n2>
,所以
-
>0.
所以S△OAB=
≤
)2=
.
当且仅当
=
-
,即m2+n2=
>
时,S△OAB取得最大值
.
由
,解得
.
所以
或
或
或
.
所以存在点M满足题意,点M的坐标为
(
,
),(
,-
),(-
,
)或(-
,-
).
此时△OAB的面积为
.
|
3 |
所以椭圆C:
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)由(1)可知A1(0,
3 |
3 |
直线QA1:y-
3 |
y0-
| ||
x0 |
-
| ||
y0-
|
直线QA2:y+
3 |
y0+
| ||
x0 |
| ||
y0+
|
则|OS|•|OT|=|
-
| ||
y0-
|
| ||
y0+
|
3
| ||
|
而
| ||
4 |
| ||
3 |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
所以|OM|•|ON|=|
3
| ||
|
(3)假设存在点M(m,n)满足题意,则
m2 |
4 |
n2 |
3 |
4 |
3 |
设圆心到直线l的距离为d,则d=
2 | ||
|
4
| ||
7 |
所以|AB|=2
|
|
所以S△OAB=
1 |
2 |
|
因为d<
4
| ||
7 |
7 |
4 |
16 |
7 |
4 |
m2+n2 |
所以S△OAB=
|
(
|
8 |
7 |
当且仅当
4 |
m2+n2 |
16 |
7 |
4 |
m2+n2 |
7 |
2 |
7 |
4 |
8 |
7 |
由
|
|
所以
|
|
|
|
所以存在点M满足题意,点M的坐标为
(
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
此时△OAB的面积为
8 |
7 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线和圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.
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