Question

1．设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为PD中点．
（1）求证：直线PD⊥平面AEB；
（2）若直线PC交平面AEB于点F，求直线BF与平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥AE，PD⊥AB，推出直线PD⊥平面AEB．
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PCD的法向量，设直线BF与平面PCD所成的角为θ，利用空间向量的数量积求解，直线BF与平面PCD所成的角的正弦值．

解答 （1）证明：∵PA=AB=AD，E为PD中点，
∴PD⊥AE，又PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AB⊥面PAD，则PD⊥AB，且AB∩AE=A，∴直线PD⊥平面AEB．
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵CD⊥面PAD，∴AE⊥CD，且AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，即$\overrightarrow{AE}$为平面PCD的法向量，$\overrightarrow{AE}=（{0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．AB∥CD，AB∥平面PCD，平面AEB∩平面AEFB=EF，
∴EF∥AB∥CD，又E为PD中点，∴F为PC中点，B（1，0，0），$F（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}}）$，
设直线BF与平面PCD所成的角为θ，$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{FB}＞}|=|{\frac{{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}}{{\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
则直线BF与平面PCD所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力．