Question

13．已知f（x）=$\frac{x}{|lnx|}$，若关于x的方程[f（x）]²-（2m+1）f（x）+m²+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{e}$，2）∪（2，e）
• B． （$\frac{1}{e}$+1，e）
• C． （e-1，e）
• D． （$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的取值情况，设t=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．

解答 解：令t=f（x），则方程有两个根t₁=m或t₂=m+1，
当x≥0时，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
当0≤x＜e时，f′（x）＜0，当x≥e时，f′（x）≥0
∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）单调递增；
作出函数f（x）的草图如图：关于x的方程[f（x）]²-（2m+1）f（x）+m²+m=0恰好有4个不相等的实数根，
转化为t₁=f（x）有一个，t₂=f（x）有3个，则0＜m＜e且m+1＞e，∴e-1＜m＜e．
故选C．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．